indice || dettori.info home

 

terza (ex prima) F

Argomenti di matematica a.s. 2015/16:

 

equazioni di secondo grado

e di grado superiore

similitudine

e vettori

luoghi

geometrici

sintesi rette

parabola

disequazioni

circonferenza

ellisse ed iperbole

problemi

funzioni goniometriche

 

 

 

scomposizione di un polinomio e teorema di Ruffini

 

Libri. Presentazione programmazione. Divisione. Divisione di un polinomio per un monomio. Esponente negativo. Divisione tra due polinomi. Algoritmo della divisione. Divisione tra polinomi. Regola di Ruffini.Verifica della divisione: P(x)= D(x)Q(x)+R(x).Teorema del resto. Teorema di Ruffini (enunciato). Correzione scheda A sul teorema di Ruffini.  Scomposizione utilizzando Ruffini. Ricerca degli zeri di un polinomio criteri di divisibilità

scheda A sul teorema di Ruffini   (soluzioni)

scheda B sul teorema di Ruffini   (soluzioni).

Scomposizione in fattori:

messa in evidenza (MCD);

raccoglimento parziale;

differenza di quadrati;

quadrato di un binomio;

cubo di un binomio;

trinomio speciale;

quadrato di un trinomio;

differenza e somma di cubi.

Scheda A-B sulla scomposizione (guidata).

Verifica sul teorema di Ruffini.

 

 

 

 

equazioni di secondo grado e di grado superiore

 

 Equazioni di grado superiore al primo. Scomposizione in fattori e legge dell’annullamento del prodotto. Equazioni di secondo grado pure e spurie scomponibili. Equazione di terzo grado scomponibile utilizzando Ruffini. Equazioni di secondo grado pure e spurie. Completamento del quadrato: equazioni di secondo grado complete, formula risolutiva (dim.). Equazioni di secondo grado complete, segno del discriminante e numero di soluzioni. Discriminante negativo e le soluzioni complesse coniugate.

Risoluzione di un’equazione di secondo grado con il metodo del completamento al quadrato, utilizzando il teorema del resto per scomporre in fattori, scomponendo in fattori il trinomio speciale ed infine utilizzando la formula risolutiva. Relazione tra i coefficienti dell’equazione e le radici: somma e prodotto e scomposizione trinomio: a(x-x1)(x-x2) (dim). Verifica di un’equazione completa o non.

Equazioni di secondo grado spurie, pure e complete con coefficienti irrazionali. Equazioni spurie, pure e razionalizzazione.

 

Equazioni secondo grado e radicali scheda A e B + soluzioni scheda A

Scheda esercitazione su equazioni di secondo grado con coefficienti irrazionali

Scheda A equazioni di secondo grado con coefficienti irrazionali.

Reciproche di terzo grado.

Esercizi sulle equazioni di grado superiore al primo.

Equazioni di quarto grado: biquadratiche. 

Manuale matematicamente.

 

Materiale sulle equazioni di grado superiore al secondo grado fattorizzabili.

 

Materiali: approfondimento sulla formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado

Verifica scritta equazioni di secondo grado nel campo dei numeri complessi ed

equazioni di grado superiore al secondo nel campo dei numeri reali: scheda A scheda B.

 

 

 

 

 

geometria similitudine delle figure e vettori

 

 

Riprendere il programma di geometria euclidea. Struttura di un teorema: enunciato, disegno, ipotesi, tesi, dimostrazione. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti. Enunciati dei criteri di congruenza dei triangoli. Teorema sui triangoli isosceli. Teorema dell’angolo esterno (prima parte). Relazione tra gli angoli e i lati di un triangolo.  Rette parallele e perpendicolari. Criterio di parallelismo. Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli. Teorema dell’angolo esterno (seconda parte). Somma angoli interni. Somma esterni di un triangolo. Parallelogramma. Definizione e proprietà. Rettangolo. Definizione e proprietà. Rombo. Definizione e proprietà. Quadrato. Definizione e proprietà. Trapezio isoscele. Superfici equivalenti: rettangolo e quadrato. Proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Postulato di De Zolt. Equivalenza di due parallelogrammi. I triangoli e l’equivalenza. Enunciati dei teoremi di Euclide e Pitagora.

 

Sintesi geometria euclidea:

scheda prima parte,

scheda seconda parte.

 

quesito n.5 e n.6

Geo. Teorema di Talete. Criteri di similitudine.

 

Geo Problemi sui triangoli rettangoli. Triangolo equilatero di lato l, calcolo dell’altezza h. Diagonale di un quadrato. Somma di vettori aventi uguale modulo. Angolo compreso tra i due vettori di 120° o di 60°(rombo e calcolo delle diagonali).

Funzioni goniometriche: definizione del seno, del coseno, della tangente, della secante, della cosecante e della cotangente di un angolo acuto.  Calcolo del seno e del coseno di 30°e di 60°. Calcolo della tangente di 45°. Problema inverso, calcolo dell’angolo noto il valore della tangente, utilizzando la calcolatrice scientifica.

Vettori come segmenti orientati.

Grandezze scalari e vettoriali. 

Somma di vettori e metodo punta-coda e metodo del parallelogramma.

Prodotto di un vettore per uno scalare k: ingrandimento (k>1), riduzione (0<k<1) , cambio verso (k = -1).

Somma di vettori: equivalenza tra il metodo punta-coda e metodo del parallelogramma.

Somma vettori note le componenti, calcolo del modulo.

Definizione della tangente di un angolo.

Calcolo della direzione di un vettore note le componenti. Uso della calcolatrice, TAN-1, ovvero calcolo dell’angolo.

 

 

 

 

 

 

luoghi geometrici ed elementi fondamentali di goniometria

 

Geo. Poligoni simili. Criteri di similitudine (enunciati).Triangoli simili ed applicazione. Primo e secondo teorema di Euclide mediante proporzioni.

Geo. Luoghi geometrici. Asse di un segmento. Definizione di circonferenza. Cerchio. “Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.” (dimostrazione prima parte, esistenza). Le parti della circonferenza e del cerchio: arco, angolo al centro, settore circolare, segmento circolare. Relazione tra l’angolo al centro e alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (dim.). Punti notevoli di un triangolo: ortocentro, baricentro, incentro e circocentro. Punti notevoli  con Geogebra,di radiante. Relazione tra angoli sessagesimali e radianti. Esercizi scheda (angoli).

 

Luoghi geometrici: le coniche. Definizione di circonferenza, ellisse, iperbole e parabola come luogo geometrico. Geogebra e coniche. Equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio 3, circonferenza goniometrica. Equazione della parabola con vertice nell’origine e asse verticale.

Definizione del seno, del coseno e della tangente di un angolo qualunque nel piano cartesiano. Definizione del seno e del coseno di un angolo qualunque nella circonferenza goniometrica. Relazione fondamentale. Calcolo del seno di 60°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sintesi rette

 

Equazione della retta in forma implicita, equazione retta in forma esplicita. Definizione di coefficiente angolare. Equazione della retta passante per due punti :

a) applicazione della formula dell’equazione della retta passante per due punti

b) calcolo di m ed applicazione della formula del fascio y-y0=m(x-x0)

c) applicazione della condizione di appartenenza e risoluzione sistema

d) calcolo di m ed applicazione della condizione di appartenenza all’equazione y =mx+q.

e) risoluzione grafica dopo aver individuato i due punti nel piano determinare m e q.

Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. Retta passante per un punto perpendicolare ad una retta data. Posizione reciproca tra due rette: sistemi lineari. Sistemi determinati, indeterminati e impossibili. Rappresentazione grafica: rette incidenti, rette parallele coincidenti, rette parallele distinte.

 

Presentazione ppt sulle rette: determinante 3x3.

Verifica scritta rette svolta in quinta ginnasio.

Test di autoverifica sulle rette

Sarrus e determinante 3x3

Esercitazione: note le equazioni di tre rette determinare i punti d’intersezione A, B e C e l’area del triangolo relativo. 

 

Traslazione verso l’alte e verso il basso. Equazioni della trasformazione diretta. Traslazione verso destra o verso sinistra equazioni della trasformazione diretta e inversa. Vettore traslazione.

 

 

 

 

parabola e segno di un trinomio

 

Equazione della parabola con vertice nell’origine. Relazione tra fuoco e coefficiente del termine di secondo grado a=1/(4f). Grafico della parabola y=3x2 : asse di simmetria, vertice, tabella, traslazione di vettore a(1;3); equazione della parabola y=x2 e traslazione di vettore b(h ; k). Equazioni della trasformazione diretta ed inversa. Equazione della nuova parabola: y=ax2+bx+c. Equazione generale della parabola. Traslazione della parabola y=ax2. Asse di simmetria. Coordinate del nuovo vertice e fuoco. Equazione direttrice.

Prima scheda sulla parabola.

Seconda scheda sulla parabola.

Presentazione ppt sulla parabola.

 

Casi particolari.

1) y=ax2  con b=c=0.

2) y=ax2 +c con b=0 e c ¹0

3) y=ax2+bx  con  c=0

Scambiando x con y otteniamo x=ay2+by+c: equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale. Intersezione tra parabola e retta: sistemi di secondo grado.

 

Luoghi geometrici. Calcolo dell’equazione della parabola con vertice nell’origine ed asse di simmetria verticale passante per P(1:4): condizione di appartenenza. Rette tangenti ad una parabola passanti per un punto appartenente alla parabola ovvero calcolo della velocità istantanea in un moto uniformemente accelerato. Intersezione tra parabola e retta: sistemi di secondo grado. Rette tangenti, secanti o esterne ad una parabola. Condizione di tangenza D=0. Video sul moto armonico e sul moto circolare uniforme. Traiettoria di un moto parabolico, composizione di un moto uniformemente accelerato (componente verticale) e moto uniforme (componente orizzontale). Geogebra ed equazioni parametriche.

Dall’equazione al grafico:

asse di simmetria,

ascissa del vertice ed ordinata del vertice (coordinate vertice applicando la condizione di appartenenza),

intersezione tra parabola ed assi cartesiani: sistemi di secondo grado,

calcolo dell’ordinata di un punto della parabola noto il valore dell’ascissa,

calcolo dell’ascissa, se esiste,  di un punto della parabola noto il valore dell’ordinata,

Concavità e segno della parabola. Intervalli limitati e illimitati, chiusi e aperti.

Esercizi sulla parabola e le equazioni di secondo grado.

 

 

 

disequazioni di secondo grado

 

  Disequazioni di secondo grafico e metodo grafico.

Scheda sulle proprietà delle disequazioni.

Presentazione ppt. sulle disequazioni di secondo grado.

Segno trinomio e metodo grafico.

 

 Esercizi sulle disequazioni:

 

Esercizi libro

 

Scheda A (y = -2x2 +x+1) +  Scheda A con soluzioni

 

Scheda AA (y = -4x2 +8x)

 

 

Verifica sulle disequazioni di secondo grado e parabola.

Scheda A + soluzioni 

Scheda B

Scheda C

Scheda D

Scheda E

 

 

 

 

 

circonferenza

 

Equazione della circonferenza noto il centro ed il raggio. Equazione in forma implicita. Relazioni tra a, b,c, a, b ed r.

Dall’equazione della circonferenza al grafico, calcolo delle coordinate del centro e del raggio (esistenza raggio>0).  Posizione della circonferenza al variare dei valori di a, b e c.

Dall’equazione della circonferenza al grafico, calcolo delle coordinate del centro e del raggio (esistenza raggio>0). Sistemi di secondo grado.  Determinare punti d’intersezione tra retta e circonferenza: Secante,Tangente, Esterna ( D>0 ; D=0; D<0 )

Materiale circonferenza

 

 

 

 

 

 

 

ellisse ed iperbole

 

Coniche: parabola, ellisse e iperbole. Presentazione ppt. Definizione, equazioni e proprietà.  Ellisse e iperbole. Definizione, equazioni e proprietà. Scheda sull’ellisse e sull’iperbole. Ellisse e iperbole. Relazione tra a, b e c. Differenze e analogie tra le due curve. Ricavate, tramite considerazioni geometriche, le relazioni: PF1+PF2=2a e a2=b2+c2 relative all’ellisse.

Schede  Schede ABCD.

Scheda delle  soluzioni verifica A (attenzione sono presenti errori).

Soluzioni scheda B

 

Relazione tra a,b e c:

per ellisse a>c quindi b2 =a2-c2 ;

per l’iperbole c>a quindi b2 =c2-a2.

 

Data l’equazione disegnare la curva sapendo che i fuochi si trovano sull’asse delle ascisse.

 

Ripasso coniche presentazione ppt

 

Sintesi coniche ppt

 

 Verifica scritta.

 

 

 

 

 

equazioni di secondo grado e problemi

 

Problemi ed equazioni di secondo grado. Sistemi simmetrici: metodo di sostituzione.

Problemi di secondo grado + soluzioni

scheda ABCD problemi di geometria Pitagora ed Euclide  

problemi primo grado e di secondo grado + soluzioni

problemi secondo grado e sistemi simmetrici con soluzioni

scheda problemi, equazioni fratte e radicali

problemi, equazioni fratte di secondo grado, radicali+ soluzioni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ü  equazioni di secondo grado e problemi

 

00 gen. ’14 Problemi ed equazioni di secondo grado. Problemi.

00 gen. ’14. Problemi e radicali: Scheda ABCD problemi geometria,  problemi di secondo grado +soluzioni . Problemi primo grado. Problemi secondo grado.

00 gen. ’14 Problemi di secondo grado: scheda problemi, equazioni fratte e radicali. Problemi, equazioni fratte, radicali+ soluzioni. Equazioni di primo grado con coefficienti irrazionali.

dic. ’13   Equazioni di secondo grado fratte. Esistenza di una frazione algebrica. Scomposizione di un trinomio di secondo grado. Semplificazione di frazioni algebriche.

00 giu. ’14  Testo problema: dati tre punti non allineati,  il punto d’intersezione tra gli assi dei segmenti è il centro della circonferenza passante per i tre punti. Grafico con Geogebra: tre punti, tre punti2.

00 giu. ’14  Determinanti 3x3 metodo di Sarrus: equazione della retta passante per due punti. Circonferenza passante per tre punti. Sistema a tre equazioni e tre incognite. Problema per casa: circonferenza passante per tre punti+soluzione.

00 giu. ’14  Simmetria centrale. Equazioni della trasformazione di una simmetria centrale (dim.). Esercizio n140. Geo. Parallelogrammi: proprietà.

 

 

 

00 mar. ’14 Geo. Corollari teorema dell’angolo al centro e alla circonferenza che insistono sullo stesso arco: tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali; se un lato di un triangolo inscritto in una circonferenza coincide con il diametro il triangolo è rettangolo. Teoremi sulle corde (enunciati). Posizione reciproca retta e circonferenza.  Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno. Poligoni inscritti e circoscritti.

 

 

 

 

 

 

 

ü sistemi di secondo grado e di grado superiore

 

feb. ’14  Sistemi di primo grado. Sistemi di  secondo grado.

feb. ’14  Sistemi di quarto grado.

feb. ’14  Simulazione verifica: esercitazione F+soluzioni. Esercizi.

feb. ’14  Verifica equazioni e sistemi.

 

 

 

 

 

 

 

Definizione di angolo piano. Angoli orientati e angoli impropri. Esercizi scheda (angoli). Unità di misura degli angoli e calcolatrice. Definizione di radiante. Unità di misura degli angoli: gradi sessagesimali, radianti e gradi centesimali. Trasformazione del valore della misura dell’angolo in radiante in gradi sessagesimali: fattore di conversione: 180°/p.

Definizione del seno, del coseno e della tangente di un angolo qualunque nel piano cartesiano.  Confronto con la definizione del seno e del coseno di un angolo acuto. Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa. Il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto all’angolo.

Definizione di secante, cosecante e cotangente. Uso della calcolatrice. Formulario

Equazione circonferenza goniometrica: x2 +y2 =1. Circonferenza goniometrica e seno e coseno di un angolo. Relazione fondamentale.  Angoli particolari. Calcolo del valore del seno, del coseno  per particolari valori dell’angolo: p/6, p/3, p/4.

Fisica e goniometria

Legame tra moto circolare uniforme e moto armonico.

Video: moto circolare e moto armonico

Video: composizione dei moti:  legame tra moto armonico e moto circolare, analisi del moto parabolico

Video sull’analisi del moto armonico, descrizione, grafico spostamento tempo e velocità tempo: Moto armonico semplice