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seconda classe (ex quinta) F

 

Argomenti di matematica a.s. 2017/18

 

 

prerequisiti

equazioni di primo grado

disequazioni

 

Geo 1 elementi fondamentali

Geo 2 triangoli

Geo 3 perpendicolari e parallele

Geo 4 parallelogrammi e trapezi

Geo 5 equivalenza

Geo 6 similitudine

 

 

 

radicali

problemi equazioni di secondo grado e radicali

 

 

 

geometria analitica: retta nel piano

sistemi 

rette

Seguono gli argomenti che intendo svolgere quest’anno, salvo imprevisti.

Si raccomanda la consultazione puntuale del registro elettronico, dove verranno indicati gli argomenti svolti in classe ed i compiti assegnati.

 

prerequisiti

calcolo letterale: monomi, polinomi, scomposizione e frazioni algebriche

 

 

scheda A sul calcolo letterale + soluzioni

scheda B sul calcolo letterale

Prodotto tra polinomi: proprietà associativa. Quadrato e cubo di un binomio.

Esercizi sulla scomposizione. Messa in evidenza: MCD. Raccoglimento parziale. Scomposizione in fattori e prodotti notevoli: quadrato di un binomio e differenza di quadrati. Differenza e somma di cubi. Trinomio notevole.

 

 

 

Scheda A scomposizione guidata  + soluzioni

Scheda B scomposizione guidata + soluzioni

 

Scheda A sulla scomposizione + soluzioni

 

 

 

Semplificazione frazioni algebriche. Scheda sulle frazioni algebriche.

Prodotto e divisione di frazioni algebriche.

Prodotto e divisione di frazioni algebriche.

Test n1: semplificazione frazioni algebriche (Test sulla semplificazione)

Somma di frazioni algebriche.

Espressioni contenenti frazioni algebriche. Scheda A sulle frazioni algebriche + soluzioni

 

 

 

Materiali

 

Scheda B calcolo letterale soluzioni  (PDF)

Esercizi finali con soluzioni (formato pdf)

 

equazioni e geometria

 

Libri. Presentazione programmazione.

Equazioni di primo grado. Esercitazione sulle equazioni intere.

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili.

Equazioni fratte di primo grado.

Problemi ed equazioni di primo grado.

 

Verifica: equazioni di primo grado

 

Materiali

Video: equazioni di primo grado intere

 

video

video

video

video

 

 

Scheda sulle equazioni.

Scheda A sulle equazioni intere con soluzioni.

 

Scheda esercitazione sulle equazioni di primo grado intere e fratte + (soluzioni)

Scheda A equazioni di primo grado intere e fratte + soluzioni

Scheda B equazioni di primo grado intere e fratte + soluzioni scheda B.

 

Esercitazione sulle equazioni scheda C

Equazioni di primo grado scheda E

 

geometri euclidea: elementi fondamentali

 

Elementi primitivi: punto, retta e piano. Postulati o assiomi. Struttura di un teorema. Segmenti adiacenti o consecutivi. Semipiani con le origini incidenti: definizione di angolo. Poligonali. Figure concave e convesse. Definizione di angolo. Angolo concavo e convesso. Angoli consecutivi e adiacenti. Congruenza tra figure: Confronto tra angoli e tra segmenti. Angoli opposti al vertice.

 

·      Teorema: tutti gli angoli opposti al vertice sono congruenti.

 

 

GEO primo modulo: disegni e quesiti.

 

Materiali

Quesiti e test  

Test vero-falso 1° unità.

 Il test di geometria in linea  (utilizza Internet Explorer).

triangoli

 

Triangoli definizione e proprietà.  Classificazione dei triangoli in base ai lati (scaleno, isoscele, equilatero) e in base agli angoli (acutangolo, ottusangolo, rettangolo) e relativi disegni considerando tutte le possibilità ed individuando i triangoli impossibili: “triangolo rettangolo equilatero”. Costruzione della tabella 3x3 relativa alla classificazione dei triangoli.

 

Definizione di mediana (punto medio di un segmento) e baricentro di un triangolo (punto d’intersezione delle mediane). Definizione di altezza (retta perpendicolare ad una retta passante per un punto esterno) e ortocentro; altezze e ortocentro di un triangolo acutangolo, ottusangolo e rettangolo.

Struttura di un teorema: enunciato, disegno, ipotesi, tesi, dimostrazione.  Figure congruenti ed inversamente congruenti

·      Enunciati dei criteri di congruenza dei triangoli. 

·      Teorema del triangolo isoscele. Teorema inverso

·      Teorema dell’angolo esterno prima parte

·      Corollari del teorema dell’angolo esterno:

o  la somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto;

o  un triangolo non può avere due (o più) angoli retti, né due (o più) angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso, cioè in un triangolo due angoli sono sempre acuti.;

o  gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

·      Relazione tra lati ed angoli di un triangolo (disuguaglianze)

Poligono e diagonali. Formula delle diagonali di un poligono.

 

GEO secondo modulo: disegni e quesiti sui triangoli

 

Materiali

Test V/F sui triangoli in linea  (utilizza Internet Explorer)

Quesiti sui triangoli

Soluzioni quesiti

Materiali di geometria eucli­dea

I triangoli (pdf)

 

 

Problema: “disegna un triangolo ABC e la bisettrice dell’angolo interno del triangolo di vertice A. Su tale semiretta disegna il segmento AD = AB e il segmento AE = AC. Dimostra che i segmenti CD e BE sono congruenti.” Risoluzione con geogebra.

 

disequazioni

 

Disuguaglianze. Disequazioni intere di primo grado. Intervalli. Disequazioni intere numeriche di primo grado a coefficienti interi o frazionari. Disequazioni intere con coefficienti letterali (cenni). Discussione ax<b e ax=b. 

 

Segno di un prodotto: tabella dei segni. Segno di un polinomio.

 

Disequazioni fratte: segno del denominatore e del numeratore.

 

Verifica sulle disequazioni.

 

Materiali

Sistemi di disequazioni scheda esercitazione.

Sistemi di disequazioni: scheda A.

Sistemi di disequazioni: scheda B.

Equazioni e disequazioni + soluzioni scheda A equazioni e disequazioni.

Verifica AA: Sistemi di disequazioni di primo grado.

Scheda A sulle disequazioni con soluzioni.

 

Perpendicolari e parallele

 

Rette perpendicolari e proiezioni ortogonali. Rette tagliate da una trasversale e coppie di angoli. Rette parallele e criterio di parallelismo (enunciato)

·      Teorema angolo esterno seconda parte.

·      Somma angoli interni di un triangolo e di un poligono

·      Somma angoli esterni di un triangolo e di un poligono.

·      Criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

·      Secondo criterio di congruenza generalizzato.

 parallelogrammi e trapezi

 

Parallelogramma. Definizione e proprietà. Centro di simmetria.

Rettangolo. Proprietà delle diagonali di un rettangolo.

Rombo. Proprietà delle diagonali di un rettangolo.

Trapezio. Definizione e proprietà. Trapezio rettangolo. Trapezio isoscele.

Teorema di Talete.

 

Teoremi sui parallelogrammi.

·      Proprietà parallelogrammi. Se un quadrilatero è un parallelogramma allora:

o  i lati opposti sono congruenti;

o  gli angoli opposti sono congruenti;

o  le diagonali si incontrano nel loro punto medio

o  gli angoli adiacenti a ogni lato sono supplementari.

 

·      Criteri per riconoscerli. Un quadrilatero è un parallelogramma se:

o  ha i lati opposti congruenti,

o  ha gli angoli opposti congruenti, 

o  le diagonali si incontrano nel loro punto medio.

o  ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

 

·      Rettangolo: le diagonali sono congruenti.

·      Rombo: le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli.

 

Teoremi sul trapezio isoscele:

·      gli angoli alle basi sono uguali,

·      le diagonali sono uguali.

 

Risoluzione problemi sui parallelogrammi.

 

Verifica: parallelogrammi

Risoluzione di un problema sui parallelogrammi e dimostrazione di due teoremi studiati.

 

Materiali

 

Problema. Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice C. prolunga i lati AC e BC dei segmenti CE e CF congruenti a BC. Dimostra che ABEF è un rettangolo.

 

Problema. Disegna un triangolo ABC e la mediana CM. Prolunga CM di un segmento ME=CM. Dimostra che il quadrilatero AEBC è un parallelogramma.

 

Schede di geometria: parte prima e seconda.

 

 (circonferenza parte terza )

 

Equivalenza

 

Superfici equivalenti: rettangolo e quadrato. Proprietà riflessiva, simmetrica e transi­tiva. 

·      Equivalenza di due parallelogrammi.

I triangoli e l’equivalenza.

Enunciati dei teoremi di Euclide e Pitagora. Teorema: l’area di un trapezio è equivalente all’area di un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.

·      Primo teorema di Euclide

·      Teorema di Pitagora: corollario del primo teorema di Euclide

·      Secondo teorema di Euclide 

·      Teorema di Talete

Applicazione del primo e secondo teorema di Euclide: problemi di secondo grado

Applicazione teorema di Pitagora.

Materiale sul teorema di Pitagora

Dimostrazione del teorema di Pitagora (wiki): quadrati equiscomponibili. Tangram.

Le dimostrazioni del teorema di Pitagora

radicali

 

La necessità di ampliare l’insieme dei numeri razionali. Esistenza dei numeri irrazionali. La radice quadrata di due non è un numero razionale (dimostrazione per assurdo).

 

Approssimazione di un numero irrazionale. Primi cinque termini delle successioni che approssimano, per difetto e per eccesso, la radice quadrata di un numero naturale (2,  3, 5, etc.).

 

Definizione di radicale. Potenze ed esponente frazionario (dimostrazione).

 

Proprietà invariantiva. Semplificazione di radicali. La riduzione di radicali allo stesso indice. Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice. Trasporto di un fattore dentro al segno di radice. 

 

La moltiplicazione e la divisione fra radicali (dim).

 

La potenza e la radice di un radicale (radice di radice) (dimostrazione).

 

Radicali simili e somma di radicali.

 

Espressioni contenenti radicali.

 

·      Razionalizzazione: un radicale al denominatore e una somma contenete almeno un radicale.

·      Equazioni con coefficienti irrazionali.

 

Verifica radicali:

Le operazioni con i radicali: portare fattori fuori o dentro la radice, somma, prodotto, rapporto, potenza ed espressioni contenenti prodotti notevoli e frazioni algebriche.

 

 

Materiali

Scheda teo­ria: dimostrazioni ed indicazioni. 

esercitazione” + soluzioni .

esercitazione A

esercitazione B

esercitazione C

esercitazione 100D + soluzioni

Test radicali.

Problemi: equazioni di primo grado, sistemi, equazioni di secondo grado e radicali

 

Equazioni pure. Problemi e radicali. Radicale aritmetico ed algebrico. Indice della radice e segno del radicando. Numeri immaginari puri. Scheda. (Rettangolo)

La semplificazione ed il valore assoluto. Definizione di valore assoluto di a, esistenza di un radicale quadra­tico. Indice della radice e segno del radicando.

Lato di un quadrato con diagonale unitaria: perimetro ed area. Calcolo della diagonale di un rettangolo. Problemi di secondo grado.

Applicazione teorema di Pitagora. Calcolo dell’altezza di un triangolo isoscele. Problemi e radicali. Scheda ABCD problemi di geometria: teorema di Pitagora e teoremi di Euclide.

Problemi e radicali. Scheda E3. L’area di un trapezio è equivalente all’area di un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.

 

Similitudine

 

Figure simili

Triangoli e poligoni simili

·      Teorema di Talete

·      Criteri di similitudine

·      Primo e secondo teorema di Euclide

geometria analitica: retta nel piano

 

Retta come rappresentazione delle soluzioni dell’equazione di primo grado. Data un’equazione di primo grado in due variabili rappresentare nel piano cartesiano la retta.

Retta passante per l’origine e grandezze direttamente proporzionali. Retta passante per l’origine e traslazione verso l’alto.

Equazione della retta in forma esplica ed ordinata all’origine.

Coefficiente angolare: rette crescenti e decrescenti e parallele all’asse delle ascisse. Le equazioni degli assi cartesiani. Equazione delle rette verticali ed orizzontali.

Data l’equazione della retta ricavare q ed m. Date le coordinate di un punto stabilire se la retta passa per quel punto, condizione di appartenenza.

 

Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. Intersezioni della retta con gli assi cartesiani.

 

 

 

 

 

Materiali

 

Presentazione ppt sulle rette: determinante 3x3.

Test di autoverifica sulle rette

 

sistemi lineari

 

Sistemi lineari significato geometrico e algebrico. Grado di un sistema. Metodo di riduzione.

Rappresentazione grafica di una retta nota l’equazione: tabella.  Retta come rappresentazioni delle soluzioni dell’equazione di primo grado. Sistemi e metodo grafico.

 

Sistemi lineari e metodi di risoluzione.

·      Metodo di sostituzione.

·      Metodo di riduzione.

·      Metodo del confronto e proprietà transitiva.

·      Metodo grafico.

 

Sistemi lineari e rappresentazione grafica. Equazione della retta in forma esplica. Coefficiente angolare ed ordinata all’origine.

 

Sistema determinato m ¹m’;

sistema impossibile m=m’;

sistema indeterminato: equazioni identiche m=m’, q=q’.

 

Relazione tra i coefficienti delle incognite e il coefficiente angolare.

 

Sistema in forma normale. Calcolo del rapporto tra i coefficienti delle incognite:

 

-     a/a’ ≠  b/b’ DET.                                  

-     a/a’ = b/b’ = c/c’ IND.                       

-     a/a’ = b/b’ ≠ c/c’ IMP

 

Sistemi con coefficienti letterali.

 

Metodo di Cramer.

Sistemi determinati, indeterminati, impossibili e relazione con i rapporti tra i coefficienti delle variabili e i termini noti. Calcolo di un determinante 2x2. Sistemi indeterminati e forma indeterminata: 0/0

 

Verifica sui sistemi di primo grado

 

Materiali

Esercitazione sistemi  +  soluzioni.

Esercitazione sistemi scheda A  +  soluzioni. 

Esercitazione sistemi scheda B +  soluzioni

Problema n625bis: vertici quadrato. 

 

Test in linea: primo, secondo, terzo  sui sistemi lineari (utilizza Internet Explorer)

 

rette nel piano cartesiano

 

 

Scrivere l’equazione della retta conoscendo un punto e il coefficiente angolare utilizzando: la condizione di appartenenza e l’equazione del fascio.

 

Rappresentazione grafica di una retta nota l’equazione utilizzando l’ordinata all’origine e il coefficiente angolare (dopo aver individuato nel piano un punto appartenente alla retta si determina un secondo punto utilizzando il coefficiente angolare).

 

Intersezioni della retta con gli assi cartesiani.

 

 Equazione della retta passante per due punti: calcolo del coefficiente angolare e condizione di appartenenza per deter­minare l’ordinata all’origine.

 

Equazione della retta passante per due punti.

 

Fascio proprio e fascio improprio di rette.

 

Scrivere un’equazione di una retta passante per un punto P e parallela (o perpendicolare) ad n retta data.

 

Calcolo dell’area individuata da tre rette.

 

Traslazione verso l’alto e verso il basso. Equazioni della trasformazione diretta. Traslazione verso destra o verso sinistra equazioni della trasformazione diretta e inversa. Vettore traslazione.

 

Verifica sulle rette

indicazioni:

Equazione della retta in forma implicita, equazione retta in forma esplicita.

·       Saper disegnare una retta nel piano cartesiano nota l’equazione:

o   per punti (tabella)

o   individuando un punto (ordinata all’origine) e il coefficiente angolare

·       Determinare l’equazione della retta nota la direzione e le coordinate di un punto.

·       Determinare l’equazione della retta passante per due punti

o   calcolo di m ed applicazione della condizione di appartenenza all’equazione y =mx+q

o   calcolo di m ed applicazione della formula del fascio y-y0=m(x-x0)

o   applicazione della formula dell’equazione della retta passante per due punti

o   applicazione della condizione di appartenenza e risoluzione sistema

·       Retta passante per un punto perpendicolare o parallela ad una retta data:

o   formula del fascio y-y0=m(x-x0)

o   condizione di parallelismo

o   condizione di perpendicolarità.  

·       Rappresentazione di due rette nel piano: sistemi lineari:

o   sistemi determinati ovvero rette incidenti

o   sistemi indeterminati ovvero rette parallele coincidenti

o   sistemi impossibili ovvero rette parallele distinte.

 

 

 

Materiali

 

Presentazione ppt sulle rette: determinante 3x3.

Verifica scritta rette svolta in quinta ginnasio.

Test di autoverifica sulle rette

Sarrus e determinante 3x3

Esercitazione: note le equazioni di tre rette determinare i punti d’intersezione A, B e C e l’area del triangolo relativo. 

 

Esercitazione.

verifica A

 

Test in linea di autoverifica sulle rette (utilizza Internet Explorer).